برهن أنه في حال -1<a<+1 تتقارب المتتالية (Un)n ≥ 0 واحسب نهايتها بدلالة a,b,s

a = 1

Un+1 = Un + b

Un+1 – Un = b

فالمتتالية Un حسابية أساسها r=b

Un = U0 + nr

Un = S + n.b

X = aX + b

a ≠1

X(1-a) = b

X = b/(1-a) = l

tn = Un-l

tn+1 = Un+1 – l

Un+1 = aUn + b

tn+1 = aUn + b – l

tn+1 = a(tn+l)+b-l

tn+1 = atn+al+b-l

tn+1 = atn+l(1-a)+b

tn+1 = atn+(b/1-a)(1-a)+b

tn+1 = atn-b +b

tn+1 = a.tn

والمتتالية tn هندسية أساسها a وحدها الأول t0=u0-l ومنه:

t0 = s – (b/1-a)

tn = t0(a)n = (s-b/1-a)(a)n

Un = tn + l

Un = t0(a)n + l

-1 < a < +1

Lim (Un) n→+∞ = l = b/(1-a)

والمتتالية Un متقاربة.