ولتكن M نقطة إحداثياتها (x,y) في المعلم (o,I,j) وإحداثياتها (x,y) في المعلم (o,u,v) أوجد x و y بدلالة x,y ثم ارسم الخط H في المعلم (o,u,v)

أياً كان (xϵIR) فإن:

F(-x) = √1+(x)2 = √1+x2 = f(x)

فالخط C متناظر بالنسب لمحور التراتيب.

Lim f(x) x→±∞ = +∞

F(x) – x = √1+x2 – x

= (√1+x2 – x)*( √1+x2 + x) / (√1+x2 + x)

= (1+x2-x2) / (√1+x2 + x)

F(x) – x = 1 / (√1+x2 + x)

Lim [ f(x)-x ] x→+∞ = 1/+∞ = 0

فالمستقيم (y=x) هو منصف الربع الأول والثالث مقارب مائل في جوار (+∞) وبما أن:

F(x) – x > 0

أياً كان x من IR وذلك لأن:

√1+x2 > - x

فالخط البياني C يقع فوق المقارب (y=x).

الخط C’ يمثل المعادلة:

g(x) = -f(x)

فالمنحني C’ نظير C بالنسبة لمحور الفواصل معادلته:

y = - √1+x2

y < 0

y2 – x2 = 1

f(x) = y = √1+x2

y>0

y2-x2 = 1

ومنه فإن المعادلة (y2-x2=1) تمثل (CUC’) حيث C’ نظير C بالنسبة لمحور الفواصل.

لنفرض M(X,Y) إحداثيي نقطة من H بالنسبة للجملة (o,u,v) و (x,y) إحداثيي M بالنسبة للجملة (o,I,j) فيكون:

OM = Xu + Yv

نعوض u و v بدلالة i و j:

OM = X (√2/2)(i+j) + Y (√2/2)(-i+j)

= √2/2 (X-Y)i + √2/2 (X-Y)j

= xi + yj

X = √2/2 (X-Y)

Y = √2/2 (X+Y)

نعوض في معادلة H:

y2 – x2 = 1

½ (X+Y)2 – ½ (X-Y)2 = 1

2XY = 1