نفترض وجود تابع معرف على IR واشتقاقي عليها ويحقق f(0)=0 و f’(x)=1/(1+x2) عند كل x من IR وليكن C خطه البياني في معلم متجانس (o,i,j)

g(x) = f(x) + f(-x)

بما أن f(x) اشتقاقي على IR فرضاً فإن f(-x) اشتقاقي على IR وبالتالي فإن g(x)اشتقاقي على IR لأنه مجموع تابعين اشتقاقيين ونجد أن:

g'(x) = f’(x) – f’(-x)

g’(x) = 1/(1+x2) – 1/(1+(-x2)) = 0

f(0) = 0

f(-0) = 0

g(0) = f(0) + f(0) = 0+0 = 0

g’(x) = 0

x ϵ IR

فإن التابع g ثابت وبما أن g(0) = 0 فإن g(x)=0

g(x) = f(x) + f(-x)

g(x) = 0           x ϵ IR

f(x) + f(-x) = 0

f(-x) = -f(x)

فالتابع فردي.

h(x) = f(x) + f(1/x)

I = ]0,+∞[

إن f اشتقاقي على IR فهو اشتقاقي على ]0,+∞[ وكذلك f(1/x) لأن:

(1/x)’ = - 1/x2

اشتقاقي على ]0,+∞[ ومنه فإن h(x) اشتقاقي على ]0,+∞[ لأنه مجموع تابعيين اشتقاقيين:

h'(x) = f’(x) – 1/x2 * f’(1/x)

h’(x) = (1/1+x2) – (1/x2)*(1/(1+1/x2))

h’(x) = (1/1+x2) – (1/1+x2) = 0

h’(x) = 0

h(x) = c

h(1) = f(1) + f(1/1) = 2f(1)

h(x) = 2f(1)

f(x) = h(x) – f(1/x)

Lim f(x) x→+∞ = Lim h(x) x→+∞ - Lim (1/x) x→+∞

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1) – 0 = 2f(1)

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1)

فللتابع f مستقيم مقارب // x’x ومعادلته y=2f(1)

K(x) = f(tan x) – x

معرف على:

J = ]-π/2,π/2[

K’(x) = (1+tan2x) * f’(tan x) – 1

K’(x) = (1+tan2x) * (1+tan2x) – 1

K’(x) = 1 – 1 = 0

فالتابع K ثابت أياً كانت:

X ϵ ]-π/2,π/2[

K(0) = f(0) – 0 = 0

فالتابع K(x)=0 أياً كانت x من I فإن h(x)=c

h(1) = f(1) + f(1/1) = 2f(1)

h(x) = 2f(1)

f(x) = h(x) – f(1/x)

Lim f(x) x→+∞ = Lim h(x) x→+∞ - Lim f(1/x) x→+∞

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1) – 0 = 2f(1)

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1)

فللتابع f مستقيم مقارب // x’x ومعادلته y=2f(1)

K(x) = f(tan x) – x

معرف على:

J = ]-π/2,π/2[

K’(x) = (1 + tan2x) * f’(tan x) – 1

K’(x) = (1 + tan2x) * (1/1+tan2x) – 1

K’(x) = 1 – 1 = 0

فالتابع K ثابت أياً كانت:

X ϵ ]-π/2,π/2[

K(0) = f(0) – 0 = 0

فالتابع K(x) = 0 أياً كانت x من ]-π/2,π/2[

K(π/4) = f(tan π/4) – π/4 = f(1) – π/4

K(π/4) = 0

F(1) = π/4

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1) = 2*π/4 = π/2

وبما ان f فردي فإن:

Lim f(-x) x→+∞ = -Lim f(x) x→+∞ = -π/2

ميل المماس للخط C في النقطة(0,0) :

F’(0) = 1

ومعادلة المماس:

y = x

ميل المماس للخط C عند x=1 هو:

F’(1) = ½

ومعادلة المماس عند x=1 وf(1)=π/4  هي:

y = ½ (x-1) + π/4

معادلة المماس عند x=-1 و

f(-1)= -f(1) = -π/4

y = ½ (x+1) -π/4