في معلم متجانس (o,I,j) C هو الخط البياني للتابع f المعرف على [0,+∞[ وفق: F(x) = (x2/2)(Ln x – 3/2): x>0 ارسم مماسات C التي وجدتها ثم ارسم الخط C في المعلم ذاته

g(x) = f(x) – f(0) / (x-0)

إن f(0)=0 فرضاً إذاً

g(x) = f(x) / x = x/2 [Ln x -3/2]

g(x) = ½ x.Ln x – ¾ x

Lim g(x) x→0 = ½ Lim x.Ln x – ¾ Lim x

= 0 + 0 = 0

فالتابع قابل للإشتقاق عند x=0

Lim f(x) x→0 = Lim (x/2) * Ln x – Lim (3x2/4)

= 0*0 – 0 = 0

Lim f(x) x→+∞ = Lim (x2/2) * Lim (Ln x - 3/2)

= +∞ * (+∞-3/2) = +∞

F’(x) = x(Ln x – 3/2) + 1/x * x2/2

         = x.Ln x – 3*2 x + ½ x

F’(x) = x.Ln x – x

F’(x) = 0

Ln x – 1 = 0

X = e

F(e) = -e2/4

X = 1

F(1) = -3/4

F’(1) = -1

معادلة المماس:

y = -1*(x-1) -3/4

y = -x + ¼

h(x) = f(x) + x – ¼

Lim h(x) x→+0 = Lim f(x) + Lim (x-1/4)

= 0 – ¼ = -1/4

Lim h(x) x→+∞ = Lim f(x) + Lim (x-1/4)

= +∞+∞ = +∞

h’(x) = f’(x) + (x-1/4)’

= x.Ln x – x + 1

h”(x) = Ln x + 1 – 1

h”(x) = Ln x

h”(x) = 0

x = 1

h’(1) = 0

يقطع C محور الفواصل عندما:

F(x) = 0

Ln x -3/2 = 0

X = e^3/2 = e√e

فنقطة المماس

(e√e,0)

ميل المماس:

F’(e√e) = e√e (Ln e^3/2 – 1) = e√e / 2

معادلة المماس:

y = e√e / 2 (x - e√e) + 0

y = e√e / 2 (x) – e2/2

ونجد أن المماس عند النقطة A(1,-3/4) يخترق C والمنحني C يغير تقعره.