الأجوبة
معادلة المماس T1 لـ C1 في M:
F1(x) = e^x
F1’(x) = e^x
F1(m) = e^m
F1’(m) = e^m
yT1 = e^m (x-m) + e^m
معادلة المماس T2 لـ C2 في N:
F2(x) = e^-x
F2’(x) = -e^-x
F2(m) = e^-m
F2’(m) = -e^-m
yT2 = -e^-m (x-m) + e^-m
(ميلT1) * (ميلT2) = e^m * -e^-m = -
والمماسان متعامدان.
لإيجاد نقطة P تقاطع T1 و T2 نحل جملة معادلتيهما.
yT1 = yT2
e^m (x-m) + e^m = -e^-m (x-m) + e^-m
(x-m)(e^m + e^-m) = e^-m – e^m
x-m = (e^-m – e^m) / (e^m + e^-m)
xp = m – [(e^-m – e^m) / (e^m + e^-m)]
نعوض بإحدى المعادلتين:
yp = e^m * [(e^-m – e^m) / (e^m + e^-m)] + e^m
= (1 – e^2m + e^2m + 1) / (e^m + e^-m)
= 2 / (e^m + e^-m)
P (m – [(e^m – e^-m) / (e^m + e^-m)], 2/(e^m + e^-m))
حساب إحداثيي I منتصف MN
M(m,e^m)
N(m,e^-m)
X1 = (xM + xN) / 2
y1 = (e^m + e^-m) / 2
لإيجاد الحل الهندسي للنقطة I نحذف m بين x1,y1 لنجد:
y = ½ (e^x + e^-x)
ندرس تغيرات التابع:
g(x) = ½ (e^x + e^-x)
التابع معرف واشتقاقي على IR
Lim g(x) x→-∞ = +∞
Lim g(x) x→+∞ = +∞
g'(x) = ½ (e^x – e^-x)
g’(x) = 0
e^x = e^-x
x = 0
g(0) = 1
IP = (xP-xI, yP-yI)
IP (-[(e^m - e^-m)/(e^m + e^-m)] , [2/(e^m + e^-m) – ½ (e^m + e^-m)])
IP (-[(e^m - e^-m) / (e^m + e^-m)] , [-(e^m – e^-m)^2 / 2(e^m + e^-m)])
AP (xP-xA , yP-yA)
AP (-[(e^m – e^-m) / (e^m + e^-m)] , [2/(e^m + e^-m)])
ميل المماس عند I للخط:
g'(m) = ½ (e^m – e^-m)
ميل IP يساوي:
-[-(e^m – e^-m)^2 / 2(e^m + e^-m)] / [(e^m – e^-m) / (e^m + e^-m)]
½ (e^m – e^-m) = g’(m)
ومنه فإن PI مماس لـ
أما طول AP فيساوي:
(AP)^2 = [(e^m – e^-m) / (e^m + e^-m)]^2 + [4 / (e^m + e^-m)]
= [e^2m – 2 + e^-2m + 4] / [e^m + e^-m]^2
= [e^m + e^-m]^2 / [e^m + e^-m]^2 = 1
أسئلة مشابهة
القوائم الدراسية التي ينتمي لها السؤال