ليكن λ عدداً حقيقياً موجباً تماماً: احسب A(λ) مساحة السطح المحصور بين Cf و∆ والمستقيم الذي معادلته x=λ

F(x) = x(1 + e^-x)

Lim f(x) x→-∞ = -∞(1+∞) = -∞

Lim f(x) x→+∞ = +∞(1+0) = +∞

F’(x) = 1 + e^-x – e^-x . x

= 1 + e^-x (1-x)

لدراسة إشارة f’ ندرس إشارة f”

F”(x) = -e^-x + e^-x . x – e^-x

F”(x) = e^-x (x-2)

F”(x) = 0

X = 2

F’(2) = 1 – e^-2

Lim f’(x) x→-∞ = +∞

Lim f’(x) x→+∞ = 1+0-0 = 1

= 0 – 0 = 0

من جدول تغيرات f’ نجد ان

F’(x) > 1-e^-2 > 0

أياً كانت xϵIR فالتابع f متزايد تماماً

F(x) - y∆ = x(1 + e^-x) – x

= x.e^-x

Lim [f(x)-y∆] x→+∞ = Lim (x.e^-x) x→+∞ = 0

فالمستقيم y=x مقارب.

ونجد أن إشارة f(x)-y∆ من إشارة x وعندما x<0 فإن Cf تحت المقارب.

وعندما x>0 فإن Cf فوق المقارب.

F’(0) = 0

S = ∫_0^λ▒(f(x)-y∆)dx

S = ∫_0^λ▒(x.e^(-x) )dx

لحساب التكامل نفرض u=x فيكون u’=1

و v’=e^-x فيكون v’=-e^-x

S = 〖[x.(-e^(-x) )]〗_0^λ ∫_0^λ▒(-e^(-x) )dx

S = -λ.e^-λ – e^-λ + 1

S = 1 – e^-λ – λ.e^-λ