أثبت أن PαoPβ = Pα.β وبوجه خاص P1/a هو التقابل العكسي للتابع Pa في حالة عدد طبيعي موجب تماماً n

التابع Pa(x)=x^a يكتب Pa(x)=e^(a.Ln x) أي من الشكل:

P(u) = e^u

u(x) = a.Ln x

إذا كانت a>0 فإن التابع u(x) متزايد تماماً وفي حالة a<0 فالتابع u(x) متناقص تماماً وبالتالي فالتابع Pa(x) متناقص تماماً وفي جميع الأحوال نجد أن:

Pa’(x) = a.X^(a-1)

وفي حالة (a>0) فإن:

Pa’(x) >0

والتابع متزايد تماماً وفي حالة (a<0) فإن:

Pa’(x) < 0

و Pa متناقص تماماً

Lim Pa(x) x→+0 = Lim (x^a) x→+0 = Lim (e^a.Ln x) x→+0

نميز حالتين:

Lim Pa(x) x→+0 = 0 : a > 0

Lim Pa(x) x→+0 = +∞ : a < 0

Lim Pa(x) x→+∞ = +∞ : a > 0

Lim Pa(x) x→+∞ = 0 : a < 0

وفي حالة (a>0) فإن:

Pa(0) = 0

لأن (o^a=0) ويكون التابع معرفاً ومستمراً على المجال [0,+∞[

دراسة الاشتقاق:

عند (x=0):

t(x) = [Pa(x) – Pa(x)] / (x-0)

t(x) = [ P(x) / x ]

t(x) = X^a / x

t(x) = x^(a-1)

t(x) = e^(a-1) Ln x

إذا كانت (a>1) فإن:

Lim (t) x→0 = 0

والتابع اشتقاقي عند الصفر وفي هذه الحالة تكون P(x) اشتقاقياً على المجال [0,+∞[

إذا كانت a<1 فإن

Lim t(x) x→+0(a<1) = +∞

فالتابع غير اشتقاقي عند الصفر في هذه الحالة.

مشتق Pa:

Pa’(x) = (a/x)*e^(a.Ln x) = a.x^a / x = a.x^(a-1)

(PαoPβ)(x) = Pα(Pβ(x))

Pα(x^β) = (x^β)^α = Pα.β(x)

PαoPβ = Pαβ

وفي حالة خاصة

[P(1/a)oP(a)] (x) = [P(a)oP(1/a)] (x) = P1(x) = x

فالتابع P(1/a) هو التقابل العكسي للتابع Pa.

وإذا كانت a=n حيث n عدد طبيعي فإن P(1/a) هو X^(1/a) ويرمز له بالرمز √x ومنه P(a) و P(1/a) حيث n عدد طبيعي أي x^n و √x تقابلان في المجال ]0,+∞[

مقارنة تابع القوة بالتابعين الأسي واللوغاريتمي.

Lim (x^a)(e^-x) x→+∞ = Lim [e^(x.(a.Ln x / x) – 1)] = e^+∞(0-1) = e^-∞ = 0