لنتأمل المتتاليتين: (Un)n≥1 (Vn)n≥1 Un = (1 + 1/n)^n Vn = 1 + (1/1!) + (1/2!) +..+ (1/n!) أي المتتاليتين أفضل لحساب تقريب العدد e؟

(1 + 1/n)^n ≤ e ≤ (1 + 1/n)^(n+1)

Un ≤ e ≤ Un (1 + 1/n)

نطرح Un من جميع الأطراف فنجد:

0 ≤ e-Un ≤ (Un/n)     (1)

Un = (1 + 1/n)^n ≤ e

(1 + 1/n)^n ≤ 3

Un ≤ 3

0 ≤ e-Un ≤ Un/n ≤ 3/n         (2)

1 + 1/1! + 1/2! + .. + 1/n!

Vn + (1/n(n!)) ≥ e ≥ Vn

وبطرح Vn من جميع الأطراف نجد:

1/n(n!) ≥ e-Vn ≥ 0             (3)

0 ≤ Lim (e-Un) x→+∞ ≤ Lim (3/n) x→+∞ = 0

0 ≤ Lim (e-Vn) x→+∞ ≤ Lim (1/n(n!)) x→+∞ = 0

Lim (e-Un) x→+∞ = 0

Lim (Un) x→+∞ = e

Lim (e-Un) x→+∞ = 0

Lim (Vn) x→+∞ = e

Lim (Un) x→+∞ = Lim (Vn) x→+∞ = e

فالمتتاليتان متقاربتان من e.

ونجد أن المتتالية Vn أسهل لحساب e من المتتالية Un وينتج عن ذلك أيضاً:

Lim (1 + 1/n)^n x→+∞ = e