المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق U0=1/2 وعند كل عدد طبيعي n. Un+1 = -1/3 Un^2 + 2Un استنتج أن المتتالية (Un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها مع ملاحظة أن Un+1 = f(Un)
- رياضيات
- 2021-09-06
- HalaHamid
الأجوبة
Un+1 = -1/3(Un^2) + 2Un
n = 0
U1 = 1/3 * U0^2 + 2U0
U1 = -1/3 * 1/4 + 2*(1/2) = 11/12
U2 = 1/3 * U1^2 + 2U1 = -(1/3)(121/144) + (22/12) = 671/432
U3 = -1/3 * U2^2 + 2U2
U3 = -(1/3)(671/432)^2 + 2(671/432) = 1288991/559872
U3 = 2.302
U4 = 2.838
U5 = 2.991
F(x) = -1/3 X^2 + 2x
Lim f(x) x→-∞ = -∞
Lim f(x) x→+∞ = -∞
F’(x) = -2/3 X+2
F’(x) = 0
X = 3
F(3) = 3
F[0,3] = [0,3]
X ϵ [0,3]
F(x) ϵ [0,3]
بما أن للتابع نهاية محلية كبرى عند x=3 وهو متزايد في المجال [0,3] فالقيمة الكبرى f(3)=3 هي عنصر راجح للمتتالية Un+1 = f(Un) وفي الحقيقة:
Un+1 = -1/3 Un + 2Un
Un+1 = -1/3 (Un2 – 6Un + 9 – 9)
Un+1 = -1/3 (Un-3)^2 + 3
Un+1 ≤ 3
أياً يكن n.
ومنه فإن العدد 3 هو عنصر راجح للمتتالية كما أننا نجد ان:
Un+1 – Un = -1/3 Un^2 + 2Un – Un
Un+1 – Un = -1/3 Un^2 + Un
Un+1 – Un = -1/3 (Un^2 – 3Un + 9/4 – 9/4)
Un+1 – Un = -1/3 (Un-3/2)^2 + ¾
وبما أن:
Un ≤ 3 = 3/2 + 3/2
لأن 3 عنصر رجح فإن:
Un – 3/2 ≤ 3/2
(Un – 3/2)^2 ≤ 9/4
-1/3 (Un-1/3)^2 ≥ -3/4
-1/3 (Un-3/2)^2 + 3/4 ≥ 0
Un+1 – Un ≥ 0
والمتتالية متزايدة.
المتتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى بالعدد 3 فهي متقاربة من الحد الأعلى ونجد:
Lim (Un) n→+∞ = 3
أسئلة مشابهة
القوائم الدراسية التي ينتمي لها السؤال