ليكن n عدداً طبيعياً موجباً تماماً وليكن g و h التابعين المعرفين على [0,1] وفق: استنتج أن: 1 + 1/1! + 2/2! + .. + 1/n! ≤ e ≤ 1 + 1/1! + 2/2! + .. + 1/n! + 1/n(n!)

g'(x) = -e^(-x) [1 + x/1! + x2/2! + .. + Xn/n!] + e^(-x) [0 + 1 + 2x/2! + 3x2/3! + .. + 2x^(n-1)/n!]

g’(x) = e^(-x) [- Xn / n!]

[0,1]

X > 0

g'(x) < 0

التابع g متناقص تماماً

g(0) = 1

g(1) ≤ 1

h(x) = g(x) + e^-x [x^(n+1) / n(n!)]

h’(x) = g’(x) – e^-x [x^(n+1) / n(n!)] + [(n+1)X^n / n(n!)] * e^-x

h’(x) = g’(x) + [(e^-x)(X^n)  / n(n!)] (n + 1 - x)

= -[(e^-x)/n!] + [(e^-x)(x^n) / n(n!)] * (n + 1 - x)

= + [(e^-x)/n!] [-1 + (n + 1 - x) / n]

= [e^(-x) . x^(n)] [(1-x) / n]

[0,1]

h'(x) ≥ 0

والتابع متزايد تماماً في المجال [0,1] وبما أن h(0)=1 فإن:

h(x) ≥ 1

من تناقص g وتزايد h

وبما أن:

g(0) = h(0) = 1

h(x) ≥ 1 ≥ g(x)

x = 1

h(1) = g(1) + [e^(-1) / n(n!)] =

e^-1 [1 + 1/1! + ½! + .. + 1/n! + 1/n.n!] ≥ 1 ≥ e^-1 [1 + 1/1! + ½! + .. + 1/n!]

نضرب جميع الأطراف بـ e فنجد:

[1 + 1/1! + ½! + .. + 1/n! + 1/n.n!] ≥ e ≥ [1 + 1/1! + ½! + .. + 1/n!]