ليكن C الخط البياني للتابع f المعرف على IR وفق: F(x) = e^(1/2 – x2) ادرس وضع الخط البياني بالنسبة لكل من d,d1,d2

F(x) = e^(1/2-x2)

Lim f(X) x→+∞ = 0

Lim f(X) x→+∞ = 0

المستقيم y=0 هو x’x مقارب باتجاه +∞ وباتجاه -∞ فمعادلته y=0.

F’(x) = -2x.e^(1/2-x2)

F’(x) = 0

X = 0

F(0) = √e

للتابع نهاية محلية كبرى عند (0,√e).

معادلة المماس في النقطة التي ينعدم فيها f’ هي:

yd = √e : y = f(0) = √e

f’(x) = -2x.e^(1/2 – x2)

f”(x) = -2.e^(1/2 – x2) + (-2x).e^(1/2 – x2) * (-2x)

f”(x) = e^(1/2 – x2) * (-2+4x2)

f”(x) = 0

-2 + 4x2 = 0

X = ±√2/2

F(±√2/2) = e^(1/2-1/2) = e^0 = 1

وينعدم f” في النقطتين:

(-√2/2,1), (-√2/2,1)

معادلة المماس d عند (√2/2,1)

F’(√2/2) = -√2 .e^0 = -√2

y = -√2 x + 2

معادلة المماس d2 عند (-√2/2,1)

F’(-√2/2,1) = +√2 .e^0 = √2

y = +√2 (x + √2/2) + 1

y = √2 x + 2

بالمناسبة فإن التابع f زوجي لأن:

F(-x) = F(x)

فهو متناظر بالنسبة لمحور التراتيب.

دراسة الوضع النسبي للمماس d مع C نلاحظ من جدول التغيرات أن f(0) = √e هي قيمة كبرى شاملة فالخط البياني C يقع المماس d الأفقي في النقطة (0,√e) بما ان الخط C متناظرة بالنسبة لمحور التراتيب فيكفي دراسة الوضع النسبي لـd1 مع C في المجال [0,+∞[ أو دراسة الوضع النسبي لـ d2 مع C في المجال ]-∞,0] .

دراسة وضع C1 مع d1 في المجال [0,+∞[:

F(x) – yd1 = e^(1/2 – x2) – (-√2x + 2)

لمعرفة إشارة f(x) – yd ندرس إشارة التابع:

K(x) = e^(1/2 – x2) – (-√2 x + 2)

في المجال [0,+∞[

K(0) = √e – 2

Lim K(x) x→+∞ = +∞

K’(x) = -2x.e^(1/2 – x2) + √2

ولا تظهر لنا إشارة K’(x) لذلك نحسب K”(x)

K”(x) = e^(1/2 – x2) (-2 + 4x2)

K”(x) = 0

X = ±1/√2

K’(1/√2) = 0

K’(0) = √2

K(1/√2) = 0

نلاحظ أن K(x)<0 في المجال [0,1/√2[ فالخط C تحت المماس في هذا المجال ]1/√2,+∞[ فالخط C فوق المماس في هذا المجال ويقطع d1 الخط C في النقطة (1/√2,1) ومنه دراسة وضع C بالنسبة للمماس d2:

في المجال ]-1/√2,0[ الخط C تحت المماس d2 وفي المجال ]-∞,-1/√2[ الخط C فوق المماس ويقطع d2 الخط C في النقطة ]-1/√2,1[