بين أن المتتاليتين: (Xn)n≥1 (Yn)n≥1 الآتيتين متجاورتان: Xn = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +..+ 1/√n - 2√n+1 Yn = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +..+ 1/√n - 2√n

Xn = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +..+ 1/√n - 2√n+1

Xn+1 = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +..+ 1/√n + 1/√n+1 - 2√n+2

Xn+1 – Xn = 2√n+1 + 1/√n+1 - 2√n+2

Xn+1 – Xn = 1/√n+1 – 2/√n+2 +√n+1

√n+2 + √n+1 ≥ √n+1 + √n+1

√n+2 + √n+1 ≥ 2√n+1

1/√n+1 ≥ 2/√n+2 + √n+1

1/√n+1 – 2/√n+2 + √n+1

Xn+1 – Xn ≥ 0

والمتتالية Xn متزايدة.

المتتالية Yn

Yn = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +..+ 1/√n - 2√n

Yn+1 = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 +..+ 1/√n + 1/√n+1 - 2√n+1

Yn+1 – Yn = 2√n + 1/√n+1 - 2√n+1

Yn+1 – Yn = 1/√n+1 - 2(√n+1 - √n)

Yn+1 – Yn = 1/√n+1 – 2/(√n+1 + √n)

√n+2 + √n+1 ≥ √n+1 + √n

2√n+1 ≥ √n+1 + √n

2/√n+1 + √n ≥ 1/√n+1

0 ≥ 1/√n+1 – 2/√n+1 + √n

والمتتالية Yn متناقصة.

فإذا برهنا أن للمتتاليتين ذات النهاية فتكونا متجاورتين.

Xn – Yn = -2√n+1 + 2√n

Xn – Yn = -2(√n+1 - √n)

Xn – Yn = -2 / (√n+1 + √n)

Lim (Xn-Yn) n→+∞ = Lim (-2 / √n+1 + √n) n→+∞ = 0

Lim (Xn) n→+∞ = Lim (Yn) n→+∞

فالمتتاليتان متجاورتان.