ليكن a,b عددين يحققان 0<a<b ولنتأمل المتتاليتين (Xn)n≥0 و (Yn)n≥0 المعرفتين وفق: Y0 = b X0 = a وعند كل عدد طبيعي n:

Yn+1 = (Xn+Yn)/2

Yn+1 = (2Xn.Yn)/(Xn+Yn)

Yn+1*Xn+1 = (Xn+Yn)/2 * (2Xn*Yn)/(Xn+Yn)

Yn+1*Xn+1 = Xn*Yn

n=0

Y1*X1 = X0*Y0 = a.b

Yn+1*Xn+1 = Xn*Yn = a.b

أياً كانت n العلاقة صحيحة من n=0 ولنفرض أنها صحيحة من أجل n ولنبرهن على صحتها من أجل n+1 أي لنبرهن أن:

Xn+2*Yn+2 = Xn+1*Yn+1 = a.b

Xn+2*Yn+2 = [ (2*Xn+1*Yn+1) / (Xn+1 + Yn+1) ] * [ (Xn+1+Yn+1) / 2 ]

Xn+2 * Yn+2 = Xn+1 * Yn+1

Xn+1 * Yn+1 = a.b

Xn+2 * Yn+2 = Xn+1 * Yn+1 = a.b

لنبرهن أن حدود كل من المتتاليتين موجبة لدينا من أجل n=0 أن:

X1 = [ (2Xn.Yn) / (X0.Y0) ] = [ (2a+b) / (a+b) ] > 0

Y1 = (X0+Y0) / 2 = (a+b) / 2 > 0

ونجد بالتتالي أن:

Yn > 0

Xn > 0

في الحقيقة كل من المتراجحتين صحيحة من أجل n=1 ولنفرض أنهما صحيحتان من أجل n ولنبرهن على صحتهما من أجل n+1 أي لنبرهن أن:

Xn+1 > 0

Yn+1 > 0

Xn+1 = (2Xn.Yn)/(Xn+Yn) > 0

Yn+1 = (Xn+Yn)/2 > 0

وذلك لأن Yn>0 و Xn>0 حسب الفرض.

لنبرهن على أطراد إحدى المتتاليتين فإذا كانت إحداهما متزايدة فالثانية تكون متناقصة وذلك لأن:

Xn+1.Yn+1 = Xn.Yn

كما برهنا فيكون:

Yn+1 / Yn = Xn / Xn+1

لنتعرف إلى المتتالية Yn

Yn+1 – Yn = (Xn+Yn)/2 – Yn

= (Xn – Yn) / 2

فإشارة (Yn+1-Yn) من إشارة (Xn-Yn)

لنبحث عن إشارة (Xn-Yn).

Xn+1 – Yn+1 = (2Xn.Yn)/(Xn+Yn) – (Xn+Yn)/2

= [ 4Xn.Yn – (Xn+Yn)2 ] / [ 2(Xn+Yn) ]

= [ 4Xn.Yn – (Xn2 + 2Xn*Yn + Yn2) ] / 2(Xn+Yn)

= -(Xn-Yn)2 / 2(Xn+Yn) < 0

Xn – Yn = (Xn-1*Yn-1)2 / 2(Xn-1+Yn-1) < 0

Yn-1 – Yn = Xn-Yn / 2

Yn+1 – Yn = ½(Xn-Yn) < 0

والمتتالية Yn متناقصة.