المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق U0=3 وعند كل عدد طبيعي n: Un+1 = 2/ (Un+1) استنتج أن المتتالية (Un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها

  • رياضيات

المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق U0=3 وعند كل عدد طبيعي n:

Un+1 = 2/ (Un+1)

أثبت أن Un>0 أياً يكن n.

المتتالية (tn)n≥0 معرفة عند كل عدد طبيعي n وفق:

tn = (Un-1)/(Un+2)

اثبت أن المتتالية (tn)n≥0 هندسية واحسب نهايتها.

استنتج أن المتتالية (Un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها.

الأجوبة

Un+1 = 2 / (Un+1)

n=0

U1 = 2/(U0+1) = 2/(3+1) = ½

U2 = 2/(U1+1) = 2/(1/2+1) = 4/3

العلاقة Un > 0  صحيحة كما وجدنا من أجل:

n=1, n=0

ولنفرض أنها صحيحة من أجل n ولنبرهن على صحتها من أجل n ولنبرهن على صحتها من أجل n+ أي لنبرهن أن Un+1>0

من الفرض نجد أن Un>0 وبالتالي:

1+Un > 0

2/(Un+1) > 0

Un+1 > 0

tn = (Un-1)/(Un+2)

tn+1 = (Un+1-1)/(Un+1+2)

Un+1 = 2/Un+1

Un+1 – 1 = 2 / (Un+1) – 1 = (1-Un) / (Un+1)

Un+1 + 2 = 2 / (Un+1) + 2 = (2Un+4) / (Un+1)

tn+1 = -(Un-1)/(Un+1) ÷ 2(Un+2)/(Un+1)

tn+1 = (Un-1)/2(Un+2) = -1/2 tn

فالمتتالية هندسية وأساسها q=-1/2 ونهايتها الصفر لأن -1<q<0

tn = (Un-1)/(Un+2)

tn.Un + 2tn = Un – 1

Un(1-tn) = 1 + 2tn

Un = (1+2tn) / (1-tn)

Lim (Un) n→+∞ = Lim (1+2tn/1-tn) n→+∞ = 1

وبما ان Un>0 ولها نهاية محدودة فهي متقاربة.

سجل الدخول لتستطيع الإجابة
هل كان المحتوى مفيد؟

0 نعم

0 لا

أسئلة مشابهة

المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق U0=2 وعند كل عدد طبيعي n. Un+1 = Un/2 + 1/Un استنتج أن المتتالية (Un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها
المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق U0=1/2 وعند كل عدد طبيعي n. Un+1 = -1/3 Un^2 + 2Un استنتج أن المتتالية (Un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها مع ملاحظة أن Un+1 = f(Un)
في معلم متجانس (o,i,j) لدينا النقطتان الثابتتان: A(-3,4) B(2,1) عندما تختلف x عن 1 وعن -3 و g(-3)=2 لماذا يكون g مستمراً عند -3
نفترض وجود تابع معرف على IR واشتقاقي عليها ويحقق f(0)=0 و f’(x)=1/(1+x2) عند كل x من IR وليكن C خطه البياني في معلم متجانس (o,i,j)

القوائم الدراسية التي ينتمي لها السؤال

معلومات ذات صلة

تبحث عن مدرس اونلاين؟

ابحث عن مدرسك
محتاج مساعدة باختيار المدرس الافضل؟ تواصل مع فريقنا الان لمساعدتك بتأمين افضل مدرس
ماهو التخصص الذي تبحث عنه؟
اكتب هنا...