المتتالية (Un)n≥0 معرفة بالصيغة: Un = √n+1 - √n أثبت أنه إذا كان n>10^4 كان 0<Un<10^-2
- رياضيات
- 2021-09-05
- HalaHamid
الأجوبة
Un = √n+1 - √n
Un = (n+1-n) / (√n+1+√n) = 1 / (√n+1+√n)
وبما أن √n+1+√n≥1 فإن:
1 / (√n+1+√n) ≤ 1
(√n+1-√n) > 0
0 < Un ≤ 1
إذا كان n>10^4 فإن √n>10^2 ومنه √n+1>10^2.
بجمع المتراجحتين ذوات الأطراف الموجبة يكون:
√n+1 + √2 > 2*10^2
1/10^2 > 2 / (√n+1+√n) = 2Un
Un > 0
1/10^2 > 2Un > Un
0 < Un < 10^-2
n > 10^8
0 < Un < 10^-4
Un < 10^-8
n > 10^16
Un < 10^-2
1 / (√n+1+√n) < 1/10^8
10^8 < (√n+1+√n) < 2√n+1
10^8 < 2√n+1
10^16 < 4(n+1)
(10^16 / 4) – 1 < n
n0 = (10^16/4) – 1
n>n0
n>10^16
0 < Un < 10^-2
وهكذا نجد Un في المجال ]0,10-2[ أياً كانت n>10^16 مما يدل على أن المتتالية تتقارب من الصفر.
أسئلة مشابهة
القوائم الدراسية التي ينتمي لها السؤال