المتتالية (Un)n≥0 معرفة بالصيغة: Un = √n+1 - √n أثبت أنه إذا كان n>10^n كان 0<Un<10^-4

Un = √n+1 - √n

Un = (n+1-n) / (√n+1+√n) = 1 / (√n+1+√n)

وبما أن √n+1+√n≥1 فإن:

1 / (√n+1+√n) ≤ 1

(√n+1-√n) > 0

0 < Un ≤ 1

إذا كان n>10^4 فإن √n>10^2 ومنه √n+1>10^2.

بجمع المتراجحتين ذوات الأطراف الموجبة يكون:

√n+1 + √2 > 2*10^2

1/10^2 > 2 / (√n+1+√n) = 2Un

Un > 0

1/10^2 > 2Un > Un

0 < Un < 10^-2

n > 10^8

0 < Un < 10^-4

Un < 10^-8

n > 10^16

Un < 10^-2

1 / (√n+1+√n) < 1/10^8

10^8 < (√n+1+√n) < 2√n+1

10^8 < 2√n+1

10^16 < 4(n+1)

(10^16 / 4) – 1 < n

n0 = (10^16/4) – 1

n>n0

n>10^16

0 < Un < 10^-2

وهكذا نجد Un في المجال ]0,10-2[ أياً كانت n>10^16 مما يدل على أن المتتالية تتقارب من الصفر.