ليكن f الخط البياني للتابع f المعرف على IR وفق: F(x) = (2-x).e^x وليكن C خطه البياني في جملة متجانسة. استنتج قيمة V

F(x) = (2-x).e^x

دراسة تغيرات f:

F(x) = 2.e^x – x.e^x

Lim f(x) x→-∞ = Lim (2e^x) x→-∞ - Lim (x.e^x) x→-∞ = 0 – 0 = 0

لأن Lim (x.e^x=0) والمتسقيم y=0 مقارب.

Lim f(x) x→+∞ = Lim [(2-x).e^x] x→+∞

= -∞*+∞ = -∞

F’(x) = e^x + (2-x).e^x

F’(x) = (1-x).e^x

F’(x) = 0

X = 1

F(1) = e

F(0) = 2

F(x) = 0

X = 2

S = ∫_0^2▒〖(2-x).e^x.dx〗

نضع u=2-x فيكون u’=-1

v'=e^x فيكون v=e^x

S = ∫_0^2▒〖(2-x).dx= 〖[(2-x).e^x]〗_0^2- ∫_0^2▒〖-e^x.dx〗〗

= (0 – 2) + 〖[e^x]〗_0^2

S = -2 + e^2 – 1 = e^2 – 3

إذا كان:

G(x) = (ax2 + bx + x).e^2x

تابعاً أصلياً للتابع f2(x) فيجب ان يتحقق:

G’(x) = f2(x)

(2ax + b).e^2x + 2.e^2x.(ax2 + bx + c) = (2-x)2.e^2x

2ax2 + (2a+2b)x + b + 2c)

4 – 4x + x2

نطابق بين الطرفين فنجد:

b + 2c = 4

2a + 2b = -4

2a = 1

C = 13/4

b = -5/2

a = ½

G(x) = (1/2 x2 – 5/2 x + 13/4).e^2x

حجم المجسم الناتج عن دوران السطح السابق يعطى بالمساواة:

V = π∫_0^2▒〖f^2 (x).dx〗

وبما أن G(x) التابع الأصلي للتابع f2(x) فإن v تساوي:

V = π〖[G(x)]〗_0^2

V = π〖[(1/2 x^2-5/2 x+13/4).e^2x]〗_0^2

V = π[(2 – 5 + 13/4).e^4 – 13/4]

V = π (1/4 .e^4 – 13/4) = π/4 (e^4 – 13)