ليكن التابع f المعرف على IR وفق: F(x) = e^2x . cos x استنتج تابعاً أصلياً F للتابع f على IR

F(x) = e^2x.cos x

F’(x) = 2e^2x cos x – e^2x sin x

F’(x) = e^2x (2cos x – sin x)

F”(x) = 2.e^2x (2cos x – sin x) + (-2sin x – cos x).e^2x

F”(x) = e^2x (3cos x – 4sin x)

F(x) = a.f’(x) + b.f”(x)

e^2x .cos x = a.e^2x (2cos x – sin x) + b.e^2x (3 cos x – 4sin x)

cos x = (2a + 3b) cos x – (a+4b) sin x

2a + 3b = 1              (1)

a + 4b = 0                (2)

a = -4b

نعوض في (1):

-8b + 3b = 1

b = -1/5

a = +4/5

f(x) = 4/5 f’(x) – 1/5 f”(x)

f(x) = 4/5 f(x) – 1/5 f’(x)

f(x) = 4/5 .e^2x.cos x – 1/5 .e^2x (2cos x – sin x)

f(x) = 2/5 .e^2x .cos x + 1/5 .e^2x .sin x