أثبت باستعمال التكامل بالتجزئة أن: F(x) = x.cos (Ln x) – 1 + G(x) G(x) = x.sin (Ln x) – F(x)

F(x) = ∫_1^x▒〖cos (Ln x)dx〗

نضع u=cos (Ln x)

فيكون u’=-sin (Ln x)*1/x

v'=1 فيكون v=x

∫▒〖u.v^'=u.v- ∫▒〖v.u'〗〗

F(x) = 〖[x.cos (Ln x)]〗_1^x-∫_1^x▒〖x*1/x  sin (Ln x)dx〗

F(x) = 〖[x.cos (Ln x)]〗_1^x+∫_1^x▒〖sin (Ln x)dx〗

F(x) = x.cos (Ln x) – 1 + G(x)            (1)

G(x) = ∫_1^x▒〖sin (Ln x)dx〗

نضع u=sin (Ln x)

فيكون u’=1/x cos (Ln x)

v'=1 فيكونv=x

G(x) = 〖[x.sin (Ln x)]〗_1^x-∫_1^x▒〖1/x cos (Ln x)*x.dx〗

G(x) = x.sin x * (Ln x) - ∫_1^x▒〖cos (Ln x).dx〗

G(x) = x.sin (Ln x) – 0 - ∫_1^x▒〖cos (Ln x).dx〗

G(x) = x.sin (Ln x) – F(x)          (2)