نتأمل المعادلة التفاضلية (E): y' + 3y = 2e^-x حل المعادلة التفاضلية F واستنتج مجموعة حلول المعادلة E

اذا كان a.e^-x حلاً للمعادلة التفاضلية E فيجب أن يحققها

y' + 3y = 2e^-x

-a.e^-x + 3a.e^-x = 2e^-x

-a + 3a = 2

a = 1

بما ان a=1 فإن:

h(x) = g(x) – e^-x

اذا كان h حلاً للمعادلة التفاضلية (F) y’+3y=0 فيجب ان يحققها:

h'(x) + 3h(x) = 0

g’(x) + e^-x + 3(g(x) – e^-x) = 0

g’(x) + 3g(x) + e^-x – 3e^-x = 0

g’(x) + 3g(x) = 2e^-x

ومنه فإن g حل للمعادلة E

وبالعكس اذا كان g حلاً للمعادلة E فيكون h حلاً للمعادلة F.

لدينا:

h(x) = g(x) – e^-x

ومنه:

g(x) = h(x) + e^-x

وبما ان g حل للمعادلة E فيجب ان يحقق معادلة E

y' + 3y = 2e^-x

g’(x) + 3g(x) = 2e^-x

نعوض g بدلالة h

h'(x) – e^-x + 3(h(x) + e^-x) = 2e^-x

h’(x) + 3h(x) + 2e^-x = 2e^-x

h’(x) + 3h(x) = 0

فالتابع h يحقق المعادلة التفاضلية F.

حل المعادلة التفاضلية F:

y' + 3y = 0

y = k.e^-3x

ويكون حل المعادلة التفاضلية E هو:

g(x) = h(x) + e^-x

g(x) = k.e^-3x + e^-x