المشتق من الرتبة n ليكن f التابع المعرف وفق: F(x) = (x2 + x – 1) e^x ثم استنتج كتابة bn بدلالة n

F(x) = (x2 + x – 1) e^x

F^(1) = f’(x) = (2x + 1) e^x + e^x (x2 + x – 1)

= (x2 + 3x) e^-x

F”(x) = f^(2)(x) = (2x + 3) e^x + e^x (x2 + 3x)

= (x2 + 5x + 3) e^x

a1 = 3

a2 = 5

a2 = a1 + 2

b1 = 0

b2 = 3

b2 = a1 + b1

f^(n)(x) = (x2 + anx + bn) e^x

n = 1

n = 2

لنبرهن على صحتها من أجل n+1 أي لنبرهن ان:

F^(n+1)(x) = (x2 + a(n+1)x + b(n+1))

a(n+1) = an + 2

b(n+1) = an + bn

لنشتق التابع f^(a)(x) لنجد:

F^(n+1)(x) = (2x + an) e^x + e^x (x2 + anx + bn)

= [x2 + (an+2)x + an + bn] e^x

= (x2 + a(n+1)x + b(n+1)) e^x

a(n+1) = an + 2

b(n+1) = an + bn

فالعلاقة صحيحة من أجل n+1 فهي صحيحة أيا تكن n ونجد أن كل من an و bn أعداداً طبيعية لأنهما مجموع أعداد طبيعية.

من العلاقة a(n+1) = an + 2 نجد أن المتتالية an حسابية واساسها 2 لأن a(n+1) – an = 2 وحدها الأول 3 ونجد أن:

an = a1 + (n-1)r

an = 3 + (n-1) * 2 = 1 + 2n

bn = a(n-1) + b(n-1)

bn = a(n-1) + a(n-2) + b(n-2)

bn = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3) + b(n-3) + …

bn = a(n-1) + a(n-2) + … + a2 + a1

ونجد ان bn مجموع متتالية حسابية حدها الأول 3 وعدد حدودها (n-1)  وحدها الأخير

a(n-1) = 1 + 2(n-1)

a(n-1) = 2n – 1

s = [(n-1)/2] (a1 + a(n-1))

bn = [(n-1)/2] * [3 + 1 + 2(n-1)]

bn = (n-1)(1+n) = (n2 – 1)