ليكن Cf و Cg الخطان البيانيان للتابعين الأسي e*p واللوغاريتمي Ln بالترتيب، أيقبل هذان الخطان مماسات مشتركة

التابع الأسي:

F(x) = e^x

والتابع اللوغاريتمي:

g(x) = Ln x

خطاهما البيانيان Cf وCg متناظران بالنسبة لمنصف الربع الأول والثالث y=x نرسم هذين الخطين لنأخذ فكرة عن المماسات المشتركة في حالة وجودها.

معادلة المماس عند النقطةa

Yf = e^n (x-a) + e^n

Yf = e^n(x) + e^n (1-a)

معادلة المماس Tg عند النقطة b

y = 1/b (x-b) + Ln b

yg = (x/b) + Ln b – 1

يتطابق المماسان إذا تحقق

yf = yg

e^n (x) + e^n (1-a) = (x/b) + Ln b – 1

yf = yg

e^n = 1/b

e^n (1-a) = Ln b – 1

(1/b) (1-a) = Ln b – 1

b = e^(-n)

1 – a = e^n * Ln (e^-n) – e^n

1 – a = e^-n (-a-1)

e^n = (a-1)/(a+1)

e^n = (a+1)/(a-1)

e^n = (a-1)/(a+1)

بمجهول واحد ولحلها ندرس التابع

h(x) = e^-x [(x-1)/(x+1)]

التابع h معرف على IR \ {-1}

Lim h(x) x→-∞ = +∞

Lim h(x) x→+∞ = -1

Lim h(x) x→-1 = -∞

Lim h(x) x→+1 = +∞

h'(x) = -e^(-x) – [(x+1-x+1)/(x+1)^2]

= -e^(-x) – [2 / (x+1)^2] < 0

من الجدول يتبين أن:

h(x) = 0

في كل من المجالين ]-∞,-1[ و ]-1,+∞[ لأن التابع h مستمر ومتناقص تماماً ويمر من قيمة موجبة إلى قيمة سالبة في كل من هذين المجالين فلا بد له أن يمر على القيمة صفر من أجل قيمتين لـ

X = a

a1 ϵ ]-∞,-1[

a2 ϵ ]-1,+∞[

ومنه يوجد قيمتان لـ b الأولى b1=-e^(-a1) والثانية b2=-e^(-a2)

إذاً يوجد مماسان مشتركان للخطين Cf وCg أحدهما T1 يمس Cf في النقطة B(a1,e^a1) ويمس Cg في النقطة (b1,Ln b1) والثاني T2 يمس Cg وفي النقطة E(b2,Ln b2) ويمس Cf في النقطة (a2,e^a2)

وبما أن Cf و Cg متناظران بالنسبة لمنصف الربع الأول y=x فالمماسان متناظران بالنسبة لهذا المنصف لنحاول أن نثبت أن:

a1 = -a2

رأينا أن a جذر للمعادلة:

e^n = [(a+1) / (a-1)]           (1)

فإذا كان -a يحقق المعادلة السابقة فيكون جذراً آخر لها في الحقيقة

e^-n = [(-a+1) / (-a-1)] = [(a-1) / (a+1)]

1/e^n = [(a-1) / (a+1)]

e^n = [(a+1) / (a-1)]

فالعدد -a يحقق المعادلة (1) فهو جذر آخر لها وبالتالي فالجذران a1,a2 متناظران و a1=-a2.