نعرف المتتالية (Un)n>1 بالعلاقة: Un = 1/(n+1) + 1/(n+2) +..+ 1/(2n) أثبت مستفيداً من (2) أن: Un ≤ Ln 2 ≤ Un + 1/2n

بالتعويض في العلاقة (4) 1/P بـ t نجد:

[ 1/P / 1+1/P ] ≤ Ln (1+1/P) ≤ 1/P

ومنه:

[ 1/1+P ] ≤ Ln (P+1/P) ≤ 1/P

نضع في (5) n=P فنجد:

1/(n+1) ≤ Ln(n+1)/n ≤ 1/n      (1)

ثم نضع في (5) P=n+1 فنجد:

1/(n+2) ≤ Ln (n+2)/(n+1) ≤ 1/(n+1)     (2)

ثم نضع في (5) P=n+2

1/(n+3) ≤ Ln (n+3)/(n+2) ≤ 1/(n+2)          (3)’

ثم نكرر هذه العملية حتى P=2n-1 لنجد:

1/2n ≤ Ln (2n/2n-1) ≤ 1/(2n-1)               (n)’

نجمع كل المتراجحات فنجد في الطرف الأيسر من هذا المجموع:

1/n+1 + 1/n+2 + 1/n+3 + .. + 1/2n = Un

ونجد في الطرف الأيمن من هذا المجموع:

1/n + 1/n+1 + 1/n+2 + .. + 1/ 2n-1 =

1/n+1 + 1/n+2 + .. + 1/2n-1 + 1/n =

Un – 1/2n + 1/n =

Un + 1/2n

ونجد في مجموع الحدود الوسطى من المتراجحة:

Ln (n+1/n) + Ln (n+2/n+1) + .. + Ln(2n/2n-1) =

Ln (2n/n)

ونجد في مجموع هذه المتراجحات النتيجة:

Un ≤ Ln (2n/n) = Ln 2 ≤ Un + 1/2n

Un ≤ Ln 2 ≤ Un + 1/2n         (6)