المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق U0=2 وعند كل عدد طبيعي n. Un+1 = Un/2 + 1/Un استنتج أن المتتالية (Un)n≥0 متقاربة واحسب نهايتها

Un+1 = Un/2 + 1/Un

n=0

U1 = U0/2 + 1/U0 = 2/2 + 1/2 = 3/2

U2 = U1/2 + 1/U1 = ¾ + 2/3 = 17/12

لنفرض Un > 0 وقد وجدنا أن المتراجحة صحيحة من أجل n=0 وn=1 ولنبرهن على صحتها من اجل n+1 أي لنبرهن ان Un+1>0 في الحقيقة:

Un+1 = Un/2 ÷ 1/Un > 0

مجموع حدين موجبين حسب الفرض حيث Un>0.

التابع الذي يعين المتتالية Un+1 = f(Un) هو التابع المعرف على ]0,+∞[ وفق:

F(x) = x/2 + 1/x

Lim f(x) n→+0 = +∞

Lim f(x) n→+∞ = +∞

F’(x) = 1/2 – 1/x2 = (x2-2) / (2x2)

F’(x) = 0

X = ±√2

وفي المجال ]0,+∞[ نجد x=√2 فقط

F(√2) = √2/2 + 1/√2 = √2

يتقاطع Cf مع d بالحل المشترك لمعادلتيهما

F(x) = x/2 + 1/x

Y = x

x/2 + 1/x = x

x2 = 2

x = √2

ونلاحط أن المتتالية (Un)n≥0 متناقصة ومحدودة بالعدد √2 من الأدنى لنبرهن أن √2≤Un+1≤Un المتراجحة صحيحة من أجل n=0 إذا لدينا √2≤U1≤U0 لأن √2≤U1=3/2≤U0=2

لنفرض أنها صحيحة من أجل n ولنبرهن على صحتها من اجل n+1 أي لنبرهن أن √2≤Un+2≤Un+1

رأينا أن المتتالية محدودة من الأدنى بالعدد √2 إذاً √2≤Un+2 ونجد:

Un+2 – Un+1 = (Un+1/2) + (1/Un+1) – (Un+1)

Un+2 – Un+1 = [ 2-U^2(n+1) ] / [ 2Un+1 ] <0

Un+1 > √2

U^2(n+1) > 2

√2 ≤ Un+2 ≤ Un+1

مما سبق نجد ان المتتالية حدودها موجبة وهي متناقصة اعتباراً من u0=2 فهي مطردة ومحدودة من الأدنى بالعدد √2 فهي متقاربة.