لنضع في حالة عدد طبيعي موجب تماماً n. Un = 1 + ½ + 1/3 +..+ 1/n هل المتتالية (Un)n≥1 نهاية حقيقية

Un+1 = 1 + ½ + 1/3 +..+ 1/n + 1/n+1

Un+1 = 1 + ½ + 1/3 +..+ 1/n + 1/n+1 > 0

فالمتتالية متزايدة.

U2n = 1 + ½ + 1/3 +..+ 1/n + 1/n+1 + 1/n+2 +..+ 1/2n

Un = 1 + 1/2 + 1/3 +..+ 1/n +

Un+1 – Un = 1/n+1 + 1/n+2 +..+ 1/2n-1 + 1/2n

U2n – Un ≥ n*(1/2n)

U2n – Un ≥ (1/2)

U2n = 1 + ½ + 1/3 +..+ 1/(2^n-1) + ½^n

العلاقة  U2n≥n/2صحيحة من أجل n=1.

Un = 1 + ½ ≥ n/2 = ½

لنفرض أنها صحيحة من أجل n أي لنفرض أن U2n > n/2 صحيحة ولنبرهن على صحتها من أجل n+1 أي لنبرهن أن U2n+1 ≥ (n+1/2) رأينا أن U2n-Un≥1/2 ومنه U2n≥Un+1/2 ومن أجل n=2^n نجد:

U2.2n ≥ U2n + ½

U2n+1 ≥ U2n + ½

وبما ان U2n > n/2 فرضاً فإن:

U2n+1 ≥ U2n +1/2 ≥ n/2 + 1/2 = (n+1/2)

U2n+1 ≥ (n+1/2)

وهو المطلوب.

لنفرض أن 2^n+1 = n1 وعندما n→+∞ فإن n1→+∞

(n+1)Ln2 = Ln(n1)

n.Ln2 = Ln(n1) – Ln2

n = (Ln(n1) / Ln2 )-1

(n+1/2) = ½ * (Ln(n1)/Ln2) = Ln(n1)/Ln4

المتراجحة 1 تكتب:

Un1 ≥ Ln(n1) / Ln4

Lim (Un1) n→+∞ ≥ Lim (Ln(n1) / Ln4) n→+∞ = +∞

وبما ان المتتالية متزايدة فليس للمتتالية Un نهاية حقيقية.