المتتالية (Un)n≥0 معرفة وفق: U0 = 3/2 وعند كل n ϵ N Un+1 = Un2 – 2Un + 2 هل هي متقاربة

Un+1 = Un2 – 2Un + 2

n=0

U1 = U02 - 2U0 + 2 = 9/4 – 3 + 2 = 5/4

1≤U0≤2

فالعلاقة 1≤Un≤2 صحيحة من أجل n=1 ولنفرض أنها صحيحة من أجل n ولنبرهن على صحتها من أجل n+1 أي لنبرهن أن:

1 ≤ Un+1 ≤ 2

Un+1 = Un2 – 2Un + 1 + 1

Un+1 = (Un-1)2 + 1 ≥ 0

أي 0≤Un+1 وبما أن 1≤Un≤2 فإن 0≤Un-1≤1 وبالتالي فإن (Un-1)2≤1 وبالتالي فإن:

Un+1 = (Un-1)2 + 1 ≤ 2

إذا 1≤Un+1≤2 فالعلاقة صحيحة أياً كانت nϵN.

Un+1 – Un = Un2 – 3Un + 2 = (Un-2)(Un-1)

وبما أن 1≤Un≤2 فإن Un-1≥0 ، (Un-2)≤0 وبالتالي فإن Unr-Un≤0 فالمتتالية متناقصة وبما أنها محدودة من الأدنى بالعدد (1) فهي متقاربة.