أثبت أن h(x) = 2f(1) أياً يكن x من I. استنتج أن نهاية التابع f عند +∞ تساوي 2f(1)

g(x) = f(x) + f(-x)

بما أن f(x) اشتقاقي على IR فرضاً فإن f(-x) اشتقاقي على IR وبالتالي فإن g(x)اشتقاقي على IR لأنه مجموع تابعين اشتقاقيين ونجد أن:

g'(x) = f’(x) – f’(-x)

g’(x) = 1/(1+x2) – 1/(1+(-x2)) = 0

f(0) = 0

f(-0) = 0

g(0) = f(0) + f(0) = 0+0 = 0

g’(x) = 0

x ϵ IR

فإن التابع g ثابت وبما أن g(0) = 0 فإن g(x)=0

g(x) = f(x) + f(-x)

g(x) = 0           x ϵ IR

f(x) + f(-x) = 0

f(-x) = -f(x)

فالتابع فردي.

h(x) = f(x) + f(1/x)

I = ]0,+∞[

إن f اشتقاقي على IR فهو اشتقاقي على ]0,+∞[ وكذلك f(1/x) لأن:

(1/x)’ = - 1/x2

اشتقاقي على ]0,+∞[ ومنه فإن h(x) اشتقاقي على ]0,+∞[ لأنه مجموع تابعيين اشتقاقيين:

h'(x) = f’(x) – 1/x2 * f’(1/x)

h’(x) = (1/1+x2) – (1/x2)*(1/(1+1/x2))

h’(x) = (1/1+x2) – (1/1+x2) = 0

h’(x) = 0

h(x) = c

h(1) = f(1) + f(1/1) = 2f(1)

h(x) = 2f(1)

f(x) = h(x) – f(1/x)

Lim f(x) x→+∞ = Lim h(x) x→+∞ - Lim (1/x) x→+∞

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1) – 0 = 2f(1)

Lim f(x) x→+∞ = 2f(1)

فللتابع f مستقيم مقارب // x’x ومعادلته y=2f(1)