أثبت مستخدماً البرهان بالتدريج أن مهما يكن n≥1 فلدينا: Fo(x) = x.cos(x+nπ/2) + n.cos(x+(n-1)π/2)

F(x) = x.cos x

F’(x) = cos x – x.sin x                             (1)

F’(x) = x.cos(x+π/2) + cos x                   (1)’

F”(x) = -sin x – sin x – x.cos x                 (2)

F”(x) = x.cos(x+2*π/2) + 2cos(x+π/2)     (2)’

F’”(x) = -2cos x – cos x + x.sin x             (3)

F’”(n) = x.cos(x+3*π/2) + 3cos(x+2*π/2)

العلاقة:

Fn(x) = x.cos(x+nπ/2) + n.cos(x+(n-1)π/2)

صحيحة من أجل n=1,n=2,n=3 كما رأينا ولنفرض أنها صحيحة من أجل n ولنبرهن على صحتها من أجل n+1 أي لنبرهن أن:

F(n+1)(x) = x.cos[x+(n+1)π/2] + (n+1)cos(x+nπ/2)

F(n+1)(x) = 1*cos[x+nπ/2] – x.sin(x+nπ/2) – n.sin[x+(n-1)π/2]

F(n+1)(x) = x.cos[x+nπ/2+π/2] + cos(x+nπ/2) + n.cos[x+(n-1)π/2+π/2]

F(n+1)(x) = x.cos[x+(n+1)π/2] + cos(x+nπ/2) + n.cos[x+nπ/2]

F(n+1)(x) = x.cos[x+(n+1)π/2] + (n+1).cos(x+nπ/2]

فالعلاقة صحيحة من أجل n+1 فهي صحيحة أياً كانت nϵN.