استنتج إشارة g’(x). بالاستفادة من النتائج السابقة، نظم جدولاً بتغيرات f

F(x) = (1-x) / (x3+1)

F’(x) = [ -(x3+1)-3x2(1-x) ] / (x3+1)2

F’(x) = [ 2x3-3x2-1 ] / (x3+1)2

وإشارة f(x) من إشارة البسط.

g(x) = 2x3 – 3x2 – 1

g معرف على IR.

Lim g(x) x→-1 = -6

Lim g(x) x→+∞ = +∞

g'(x) = 6x2 – 6x

g’(x) = 0

x = 0

g(0) = -1

x = 1

g(1) = -2

من الجدول يتبين أن للمعادلة g(x)=0 جذر وحيد في المجال ]1,+∞[ حيث g مستمر ومتزايد واشتقاقي في هذا المجال ونجد أن g(2)=3>0 وأن g(1)<0.

فالجذر oc ϵ ]1,2[

F(1.6) = -0.488 <0

F(1.7) = +0.156>0

والجذر oc ϵ ]1.6,1.7[

من الجدول يتبين أن g(x)<0 في المجال ]-1,oc[ و g(x)>0 في المجال ]oc,+∞[ ومنه جدول تغيرات f.

F(oc) = F(1.65)

F(0) = 1

F’(0) = -1

معادلة المماس في A(0,1)

y = f’(0) (x-0) + f(0)

y∆ = -x + 1

لدراسة الوضع النسبي للمماس ∆ مع C في المجال ]-1,1[ ندرس إشارة الفرق:

F(x) - y∆ = (1-x / x3+1) – (1-x)

= (1-x)*(-x3/x3+1)

= ((x-1)x3) / (x3+1)

F(x) - y∆ = 0

X = 1

X = 0