أوجد نهاية التابع عند (+∞) وعند (-∞). استنتج مما سبق أن للمعادلة fm(x) = 0 ثلاثة حلول متمايزة في IR أياً يكن العدد m

Fm(x) = x3 + mx2 - 8x – m

C0:f0(x) = x3 – 8x

C1:f1(x) = x3 +x2 – 8x – 1

بالحل المشترك للمعادلتين نجد:

X3 – 8x = x3 + x2 – 8x – 1

X = ±1

X2-1 = 0

نعوض في إحدى المعادلتين فنجد:

X=-1

F(-1) = +7

X=-1

F(1) = -7

والمنحنيان c0 و c1 يشتركان بالنقطتين:

A(-1,7) , B(1,-7)

إذا كانت جميع الخطوط البيانية تمر من نقطة ثابتة أو نقطتين فيجب أن تتحقق المساواة:

F(x) = x3 + mx2 – 8x – m

F(x) = x3 – 8x + m(x2-1)

ولا تتعلق هذا المساواة بـ m إذا كان:

X2-1 = 0

X = 1

F(1) = -7

F(-1) = 7

ومنه فجميع الخطوط Cm تمر من النقطتين:

A(-1,7)

B(1,-7)

Lim f(x) x→-∞ = Lim (x3) x→-∞

Lim f(x) x→+∞ = +∞

وجدنا أن:

F(-1) = 7

F(1) = -7

ومنه فإن f(-1)*f(1)<0 ولما كان fm كثيرة الحدود فهي مستمرة على IR وبالتالي فيوجد للمعادلة fm(x)=0 جذر وحيد في المجال [-1,1]

Lim fm(x) x→-∞ < 0

F(-1) > 0

Lim f(x)*f(-1) x→-∞ < 0

وبسبب استمرار التابع f فيوجد جذر وحيد للمعادلة fm(x)=0 في المجال ]-∞,-1]

Lim f(x)*Lim f(1) x→+∞ < 0

مما يدل على وجود جذر للمعادلة f(x)=0 في المجال [1,+∞[ وهذا الجذر وحيد وبالتالي للمعادلة fm(x)=0 ثلاثة جذور متمايزة.