أثبت ان: Sn = cos nx*(sinnx/sinx) أياً كان (n≥1) و(kϵz) (x≠kπ)

Sn = cos (nx) sin(nx)/sinx

Sn = cos x + cos 3x + … + cos(2n-1)x

العلاقة صحيح من اجل (n=1):

S1 = cos x

S1 = cos (1*x) sin(1x)/sinx = cos x

نفرض انها صحيحة من اجل N ونبرهن على صحتها من اجل n+1 أي لنبرهن ان:

Sn+1 = cos(n+1)x sin(n+1)x/sin x

من العلاقة الفرض:

Sn+1 = Sn + cos (2n+1)x

Sn+1 = cos nx sin(nx) / sin x + cos (2n+1)x

Sn+1 = 1/sin x [cos nx sin nx + sin x cos (2n+1)x]

Sn+1 = 1/2sin x * [sin (2n+2)x]

Sn+1 = 1/2sin x * 2sin(n+1)x cos (n+1)x

Sn+1 = cos (n+1)x sin(n+1)x/sin

فالعلاقة صحيحة من اجل (n+1) فهي صحيحة أياً كانت n.