ليكن (x≥-1) في حالة عدد طبيعي n نرمز E(n) إلى المتراجحة E(n) : (1+x)n ≥ 1+nx أثبت أن المتراجحة محققة أياً كانت n
- رياضيات
- 2021-08-25
- HalaHamid
الأجوبة
المتراجحة محققة من أجل n=0
(1+x)0 ≥ 1 + 0*x
1 ≥ 1
لنفرض أنها محققة من أجل n أي:
E(n) : (1+x)n ≥ 1+ nx
صحيحة ولنبرهن على صحتها من أجل (n+1) أي لنبرهن أن:
(1+x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x
لنضرب طرفي المتراجحة E(n) بـ (1+x) فنجد:
(1+x)n*(1+x) ≥ (1+nx)*(1+x)
(1+x)n+1 ≥ 1 + nx + x + nx2
(1+x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x + nx2
ولما كان (nx2>0) فنستنتج أن:
(1+x)n+1 ≥ (n+1)x
والمتراجحة E(n+1) صحيحة.
أسئلة مشابهة
القوائم الدراسية التي ينتمي لها السؤال