بالعكس أثبت اية نقطة M(x,y,z) من المستوي Pـ تحقق المعادلة: X - 2Y + 3Z - 5 = 0 ما هي المجموعة ξ؟

إذا كانت النقاط A,B,C تحقق المساواة

X - 2Y + 3Z = 5

كانت تنتمي إلى المجموعة ξ

A ( 7,1,0)

7 - 2 + 0 = 5

5 = 5

B (5,0,0)

5 - 0 + 0 = 5

5 = 5

C (2,0,1)

2 - 0 + 3 = 5

5 = 5

والنقاط من المجموعة ξ.

إذا كان الشعاعان AB,AC غير مرتبطين خطياً فالنقاط A,B,C تقع في مستو واحد.

AB = (5-7 , -1 , 0) = (-2 , -1 , 0)

AC = (2-7 , 0-1 , 1-0) = (-5 , -1 , 1)

ونجد ان الشعاعين AB,AC غير مرتبطين خطياً لأن مركباتهما غير متناسبة فالنقاط A,B,C تشكل مستوياً P.

بما نا M(X,Y,Z) فإن:

BM = (X-5 , Y , Z)

وبما ان X-2Y+3Z=5 فإن X-5 = 2Y-3Z ونجد:

BM = (2Y-3Z , Y , Z)

y.BA = y (2,1,0) = (2Y , Y , 0)

BC = (2-5 , 0 , 1-0) = (-3 , 0 , 1)

z.BC = (-3Z , 0 , Z)

y.BA + z.BC = (2Y , Y , 0) + (-3Z , 0 , Z) = (2Y-3Z , Y , Z) = BM

BM = y.BA + z.BC

فالنقاط M واقعة في المستوي P.

إذا كانت M(X,Y,Z) واقعة في المستوي P فهي تستحق المساواة السابقة أي:

BM = (2Y-3Z , Y , Z)

BM = (X-5 , Y , Z)

2Y - 3Z = X-5

X - 2Y + 3Z - 5 = 0

فالنقطة M من المستوي P إذا وفقط إذا تحققت العلاقة:

X - 2Y + 3Z - 5 = 0

فالمجموعة ξ هي مجموعة النقط M(X,Y,Z) التي تحقق العلاقة السابقة.