ABCD رباعي وجوه فيه I منتصف [AB]و J منتصف [CD] و O منتصف [IJ]. وأثبت ان LJ = 1/2 BD

AB + CD = AD + DB + CD

= AD + CD + DB

= AD + CB

AI + IJ + JC = AC

BI + IJ + JD = BD

بجمع العلاقتين السابقتين نجد:

AI + BI + 2 IJ + JC + JD = AC + BD

AI + BI = O

JC + JD = O

لأن I منتصف [AB] و J منتصف [CD] نجد ان:

2 IJ = AC + BD

OA + OB = 2 OI     (1)

OC + OD = 2 OJ    (2)

وذلك لأن OI نصف قطر متوازي الأضلاع المنشأ على OA و OB والذي هو مجموعهما. وبالمثل OJ نصف قطر متوازي الأضلاع المنشأ على OC , OD الذي هو مجموعها بجمع العلاقتين 1 و 2

OI + OJ = 0

OA + OB + OC + OD = O

IK = IA + AK

= 1/2 BA + 1/2 AD

= 1/2 (AD - AB) = 1/2 BD

LJ = LC + CJ

= 1/2 BC + 1/2 CD

= 1/2 (CD - CB) = 1/2 BD