ما هي التباديل والتوافيق في علم الرياضيات؟

قوانين التوافيق والتباديل (اهم قوانين القدرات - قسم الاحصاء)

 تعتبر التباديل والتوافيق من المصطلحات التي نسمعها كثير في علم الرياضيات، ويوجد الكثير من الدروس في المراحل المختلفة التي تهتم بدراسة التباديل والتوافيق، وفي هذا المقال سوف نتعرف على كل منهم، ونعرض اهم الفروق الشائعة بينهم.

ما هي التباديل والتوافيق في علم الرياضيات؟

• علم الرياضيات درس التباديل والتوافيق على اعتبار أنها من أحد التطبيقات المهمة، حيث أن التباديل والتوافيق هو التطبيق الذي يقوم على مبدأ العد في الرياضيات.
• التباديل والتوافيق من الطرق التي تساعدنا في العد وفي ترتيب العناصر بشكل سهل وبسيط بدل من إجراء العمليات المعقدة، ويتم استخدام التباديل والتوافيق لكي نقوم بعد العناصر بكل الطرق الممكنة.
• كما يساعد هذا التطبيق على معرفة طرق العد الأسهل والأحسن، مع اكتشاف الحلول بشكل أفضل وبطريقة أسرع، وعلينا أن نعلم أن هناك اختلافات في طريقة التطبيق على كل من التباديل والتوافيق، وفي المقال سوف نقوم بشرح الفرق بينهم.  

الفرق بين التباديل والتوافيق

يوجد فرق كبير بين كل من التباديل والتوافيق بالرغم من أن هناك تشابه كبير بين كل منهم، ويظهر هذا الفرق عند استخدام طريقة الحل لكل منهم في المسائل، وهذه الفروق تكمن فيما يلي:

• التبادل تتعلق بترتيب العناصر، لذا يطلق على كلمة التبادل في الكثير من الأحيان اسم التراتيب، كما أن التباديل تُستخدم مجموعة وعناصر كثيرة، يكون العدد الذي نقصده في التباديل هو ترتيب العناصر.
• الترتيب شيء أساسي في تطبيقات التباديل، على العكس من ذلك لا يعتمد التوافيق على الترتيب بل يتعامل معه على انه شيء ثانوي ليس ضروري إذا وجد أو لم يوجد.
• ويُرمز للتباديل أو التراتيب بالرموز الرياضية التي تسهل عملية الكتابة، وهو رمز ل (ن، ن)، ويمكن الحل بالطرق السهلة حيث انه أسهل من التوفيق الذي يراعي الكثير من الأمور الأخرى.

التعريف العام للتباديل

• إذا كانت س عبارة عن مجموعة من العناصر، وعدد العناصر فيها أن، يكون عدد التباديل بين هذه العناصر (التراتيب) بين هذه العناصر، ينتج عن طريق قانون عام.
• القانون العام للتباديل، يساوي ل (ن، ن) = ن(ن-1) (ن-2) * . . . *3*2*1، ويمكن كتابة هذا قانون التباديل بشكل مختصر، حيث نقول إن!، ويُقرأ مضروب ال ن.

مثال على التباديل

لكي يتضح لنا القانون ونفهم التعريف العام بتبديل، نضرب لكم فيما يلي مثال على التباديل، في المثال نفترض أنه يوجد أربعة أشخاص، يريد الأشخاص أن يقوموا بترتيب أنفسهم في طابور.

نريد الحل أن يكون بكم طريقة يمكن بها الترتيب، التعديل هي التي توفر لنا معرفة كم طريقة مختلفة يمكن بها أن يصطف هؤلاء الأشخاص الأربعة في الطابور.

طريقة الحل هي أن تُسمى الطرق المختلفة التي يمكن بها اصطفاف هؤلاء الأشخاص في الطابور باسم التباديل، وعدد الأشخاص هو 4، إذ ل(4,4)، ولإيجاد قيمة ل(4,4) علينا ان نتخيل أن المواقع الأربعة المختلفة يمكن أن يقف بها الأشخاص الأربعة.

حيث كل شخص يمكنه أن يقف في أربع أماكن في الطابور كالتالي: يمكن الوقوف في المكان الأول ب ِ4 طرق مختلفة لكي شخص مرة، ويمكن الوقوف في المكان الثاني ب ِ3 طرق مختلفة فقط.

وعليه يمكن الوقوف في المكان الثالث بِطرقتين مختلفتين فقط، ويمكن الوقوف في المكان الرابع بطريقة واحدة مختلفة، وعليه يكون عدد جميع الطرق التي يُمكن الوقوف فيها في الطابور بشكل مصطف هي = 4*3*2*1=24 طريقة.

أي ل(4,4) = 3*2*1=24، وفي التوافيق وطريقة الحل في التوافيق تمثل اختبارات غير مرتبة، لأن التوافيق كما سبق وذكرنا لا تعتمد على الترتيب كما هو الحال في التباديل.

وفي الفقرة التالية سوف يكون الحديث عن التوافيق، ونوضح أننا نستخدم في قانون التوافيق طريقة مختلفة في حل الأشياء لأنها لا تعتمد على الترتيب، ويكون الترتيب عديم الأهمية، على سبيل المثال عندما نختار أعضاء لجنة لكل منهم نفس الحقوق والواجبات.

التعريف العام للتوافيق

التوافيق عبارة عن مجموعة جزئية لها نفس عدد العناصر، ويمكن تكوين هذه المجموعة من مجموعة أشياء مأخوذة راءً راءً في كل مرة بالرمز، تقرأ: n فوق r، حيث n، r عددان طبيعيان.

مثال على التوافق اذكر في الإجابة بكم طريقة يمكن أن نقوم باختيار ثلاثة أنواع من الفاكهة من أصل خمسة أنواع، والخمس أنواع هم: عنب، برتقال، موز، أناناس، تفاح؟

الحل نقدم فيه كل الطرق الممكنة لعمل ذلك: جميع الاختيارات الممكنة هي: (عنب، برتقال، موز)، (عنب، أناناس، تفاح) (عنب، برتقال، أناناس)، (برتقال، موز، أناناس) (عنب، برتقال، تفاح)، (برتقال، أناناس، تفاح) (عنب، موز، أناناس)، (برتقال، موز، تفاح) (عنب، موز، تفاح)، (موز، أناناس، تفاح).

ويكون عدد الاختبارات هو عدد التوافيق وهو = 10، وكل اختبار من هذه الاختبارات، يمكن أن يُسمى توفيقاً وكل الاختيارات توافيق.

ونلاحظ هنا أننا لهم نهتم بالترتيب ولا نلقي له بالا، وتعاملنا معه على أنه أمر غير مهم، على عكس ما فعلنا في التباديل.

 توضيح رقمك على التباديل

فيما يلي نريد أن نوضح ما هي التباديل الخاصة بثلاثة أرقام، وهم 1 و2 و3، تكون الإجابة كما يلي:

(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1) (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)

هذه هي الترتيبات الممكنة لكي نرتب مجموعة من العناصر، كما يمكن أن تقوم بعمل تطبيق على كل شيء في الحياة يحتاج إلى ترتيب، ونطبق القانون ليكون الأمر أسهل.

يوجد الكثير من الأنواع في التبديلات، يمكن استخدام القانون أو الطرق التقليدية لمعرفة أي حروف في أي كلمة مرتبة بترتيب معين، مثل ترتيب الحروف في كلمة تفاح، وإعادة ترتيب الحروف يعتبر تباديل.

لذا تُدرس التبديلات في الكثير من فروع الرياضيات، وتدرس أيضًا في مجالات عديدة في العلوم وفي مجالات أخرى غير رقمية مثل الكيمياء والفيزياء.

ويتم استخدام التبديلات أيضًا في علوم الحاسب، وتستخدم لتحليل ترتيب الخوارزميات، وتستخدم في ميكانيكا الكم، وأيضا هناك الكثير من التطبيقات على موضوع التباديل في علم الأحياء.

مثال على التباديل مع علم الاحتمالات

يرتبط علم الاحتمالات بالتباديل، وفيما يلي نوضح مثال يبين الارتباط بينهم:

إذا طلب من شخص ما سحب كرتين من الصندوق على التوالي، ويوجد في الصندوق أربع كرات ملونة بألوان مختلفة سوداء وزرقاء وحمراء وصفراء، المطلوب حساب عدد الاحتمالات نتيجة سحب كرة واحدة.

هنا نستخدم الاحتمالات ولابد من استخدام التباديل والتوافيق، إذا كما في السحب هناك أهمية للترتيب نستخدم التباديل وإذا كان العكس نستخدم التوافيق.

إذا كانت الكرة الأولى على سبيل المثال لونها اسود، وإذا كانت الثانية حمراء، هذه النتيجة تختلف عن الحالة التي يكون فيها الكرة الأولى لونها أحمر، والثانية سوداء.

وبتطبيق القانون نحصل على عدد الاحتمالات، ت(2,4) =4! \ (4-2)! =4×3×2×1 /2×1 = 12 احتمال.

وتكون الاحتمالات كالتالي: (سوداء، حمراء) (حمراء، سوداء) (زرقاء، سوداء) (صفراء، سوداء) (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، حمراء) (صفراء، حمراء) (سوداء، صفراء) (حمراء، صفراء) (زرقاء، صفراء) (صفراء، زرقاء).