المتتالية (Un)n≥1 معرفة عند كل n≥1 وفق: Un = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) +..+1/(n^2) أثبت مستعملاً البرهان بالتدريج أن Un≤2-(1/n) أياً يكن n≥1

Un+1 = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) +..+ 1/(n^2) + 1/(n+1^2)

Un = 1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) +..+ 1/(n^2)

Un+1 – Un = 1/(n+1)^2 > 0

والمتتالية متزايدة.

المتراجحة Un≤2-(1/n) صحيحة من أجل n=1 إذ أن u1=1 و 2-1/n لنفرض أنها صحيحة من أجل n ولنبرهن على صحتها من أجل n+1 أي لنبرهن أن

Un+1 < 2-(1/n+1)

Un+1 – Un = 1/(n+1)^2

Un+1 = Un + 1/(n+1)^2

وبما أن Un<2-(1/n) فإن:

Un+1 ≤ 2 – (1/n) + 1/(n+1)^2

Un+1 ≤ 2 – [ n^2+n+1 ] / [ n.(n+1)^2 ]

Un+1 ≤ 2 – [ n(n+1) ] / [ n.(n+1)^2 ]

n^2+n < n^2+n+1

Un+1 ≤ 2 – [ 1/n+1 ]

فالعلاقة او المتراجحة صحيحة من أجل n+1 فهي صحيحة أياً كان nϵN.