في معلم متجانس (o,i,j) لدينا النقطتان الثابتتان: A(-3,4) B(2,1) ادرس نهاية f عند (-∞) ما التأويل الهندسي لهذه النتيجة

عندما (x→+∞) فإن AM يوازي تقريباً محور الفواصل والنقطة m على محور التراتيب في النقطة (0,4) ونجد أن:

OM/BB’ = om/mB’

OM’/BB’ = 4/3

OM’ = 8/3

لنفرض a ميل المستقيم AM فتكون معادلته:

y – 4 = a(x+3)

y = a(x+3) + 4

يقطع هذا المستقيم محور التراتيب في النقطة m حيث x=0 لنجد أن m(0,3a+4) ويقطع هذا المستقيم محور الفواصل في النقطة M حيث y=0 أي:

0 = ax + 3a + 4

x = -(3+4/a)

M(x,0) = M[-(3+4/a),0]      (1)

ميل (Bm):

3a+4-1 / 0-2 = -3/2(a+1)

ميل (Bm):

y – 1 = -3/2(a+1)(x-2)

يقطع (Bm) محور الفصول في النقطة M’ حيث y=0 لنجد فاصلة M’.

0 – 1 = -3/2 (a+1)x + 3(4+1)

3/2(a+1)x = 3a + 4

X = 2/3 (3a+4/a+1)  : 4≠-1

M’(f(x),0) = M’[2(3a+4)/3(a+1), 0]     (2)

بفرض:

a≠-1

من (1) نجد:

X= -(3+4/a)

ax = -3a – 4

a(x+3) = -4

ومنه (a=-4/x+3) بفرض (x≠-3) نعوض في (2):

F(x) = 2/3 * (3a+4/a+1)

F(x) = 2/3 * [(-4/x+3)*x3+4] / [(-4/x+3)+1]

F(x) = 2/3 * (4x/x-1) = (8x/3x-3)

بفرض:

X ≠ 1

X ≠ -3

F(x) = 8x/3x-3

Lim f(x) x→+∞ = 8/3

Lim f(x) x→-∞ = 8/3

المستقيم (y=8/3) مقارب // x’x

وهذه يعني أن M’ تقترب من النقطة (8/3,0) كلما ابتعدت M.

Lim f(x) x→-1 = -∞

Lim f(x) x→+1 = +∞

المستقيم x=1 مقارب // y’y

وهذا يعني أن M’ تقع في جوار (-∞) على محور الفصول عندما تقترب M من اليسار من العدد 1 و M’ تقع في جوار (+∞) على محور الفصول عندما تقترب M من اليمين من العدد 1.

في الحقيقة عندما تقترب M على محور الفصول من العدد 1 فإن m تكون قريبة من B’ ونجد mB يوازي محور الفصول أي M’ في (-∞) أو (+∞) حسب اقتراب M من الواحد من اليمين أو اليسار.