أوجد معادلة المماس (T) للخط البياني C في النقطة A منه علماً أن فاصلة A تساوي (O)

x>-1

|x+1| = x+1

X<-1

|x+1| = -x-x

F(x) = -x-1+(x/x2-1)  : x<-1

           X+1+(x/x2-1)  : x>-1 , x≠1

Lim f(x) x→-∞ = +∞

Lim f(x) x→-1 = -∞

Lim f(x) x→+1 = +∞

Lim f(x) x→-1 = -∞

Lim f(x) x→+1 = +∞

Lim f(x) x→+∞ = +∞

F(x) = -1-(+x2+1/(x2-1)2)  : x<-1

           1-(x2+1/(x2-1)2)  : x>-1 , x≠1

ومن الواضح أنه عندما x<-1 فإن:

F’(x) <0

والتابع متناقص تماماً في المجال ]-∞,-1[ أما في حالة x>-1 فإن:

F’(x) = 1-(x2+1/(x2-1)2)

F’(x) = 1-((x2-1)2-(x2+1)/(x2-1)2)

F’(x) = (x4-3x2) / (x2-1)2

F’(x) = x2*(x2-3) / (x2-1)2

وتكون إشارة f’(x) حسب الجدول التالي:

ونلخص إشارة f’(x) على مجموعة التعريف كما يلي:

Lim [ f(x)+x+1 ] x→-∞ = Lim [ x/(x2-1) ] x→-∞ = 0

فالمستقيم y=-x-1 مقارب مائل في جوار (-∞).

Lim [ f(x)-(x+1) ] x→+∞ = Lim [ x/(x2-1) ] x→+∞ = 0

فالمستقيم y=x+1 مقارب مائل في جوار (+∞).

X<-1

x/x2-1 < 0

والخط C يقع تحت المقارب y=-x-1 عندما x>-1 و -1<x

فإن (x/x2-1>0) و C فوق المقارب وفي المجال ]0,1[

x/x2-1 < 0

C تحت المقارب.

وفي المجال ]1,+∞[

x/x2-1 > 0

C فوق المقارب.

كما تم إيجازه في الجدول التالي:

المماس عند x=0

F(0) = 1

F’(0) = 0

معادلة المماس:

y = f’(a)(x-a)+f(a)

y = 0 + 1

y = 1