أوجد قيمة المصفوفة س = |س1| |س2 | |س3| في النظام: | 1 2 4 | × |س1|= | 3 | | 3 8 14| × |س2 | = |13| | 2 6 13| × |س3| = | 4 | ؟

الحل: 

أولًا يجب إيجاد مصفوفة التقسيم ص، ج لمعامل المصفوفة في الجزء الأيسر، ليكون:

ج = |1 0 0| |3 1 0| |2 1 1| ص = |1 2 4| |0 2 2| |0 0 3| ثانيًا، إيجاد المعادلة ج × د = ب،

بِفرض أن المتجه: د = |د1| |د2| |د3| لنحصل على المعادلة:

ج × د = | 1 0 0 | × |د1| = | 3 | | 3 1 0 | × |د2| =|13| = ب،

| 2 1 1 | × |د3| = | 4 | والتي يمكن حلها بالاستبدال الأمامي للمعادلة بحيث تصبح المعادلة الأولى د1=3،

والمعادلة الثانية 3 × د1+د2 =13، ومنها د2= 4، والمعادلة الثالثة 2× د1+د2+د3 = 4، ومنها د3= -6.

بعد إيجاد قيمة د، يمكن تعويض المعادلة ص × س = د، وعليه فإن: ص= |1 2 4| × |س1| = |3| |0 2 2| × |س2| = |4| = د |0 0 3| × |س3| = |-6|

والتي يمكن حلها بالاستبدال الخلفي للمعادلة بحيث تصبح المعادلة الثالثة 3 × س3= -6، ومنها س3= -2،

والمعادلة الثانية 2 ×س2+2 × س3=4، ومنها س2= 4،

والمعادلة الأولى س1+2 × س2+ 4 × س3 = 3، ومنها س1=3.